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垂径定理的证明

归档日期:04-30       文本归类:定理证明器      文章编辑:爱尚语录

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  垂径定理及其推论:定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.注意:(1)垂径定理及其推论是证明线段相等、弧相等、角相等的重要依据.在圆中解有关弦的问题时,经常做垂直于弦的直径作为辅助线)垂径定理可改写为:如果一条直线垂直于一条弦,并且过圆心,那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧.其中有四个条件:直线垂于于弦,直线平分弦,直线过圆心,直线平分弦所对的弧.它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立,那么另外两个也成立”.这样理解与记忆垂径定理,理解深刻,记忆准确,有利于应用.定义:如果圆的一条直径垂直于一条弦,那么这条直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的弧.推论一:平分弦(不是直径),的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 (证明时的理论依据就是上面的五条定理) 编辑本段证明 如图 ,在⊙O中,DC为直径,AB是弦,AB⊥DC,AB、CD交于E,求证:AE=BE,弧AC=弧BC,弧AD= 弧BD 垂径定理证明图连OA、OB ∵OA、OB是半径 ∴OA=OB ∴△OAB是等腰三角形 ∵AB⊥DC ∴AE=BE,∠AOE=∠BOE(等腰三角形三线合一) ∴弧AD=弧BD,∠AOC=∠BOC ∴弧AC=弧BC 编辑本段讲解 垂径定理又称“5-2-3”定理 其意为:①CD是⊙O直径AB是弦;②CD⊥AB;③AE=BE;④弧AD=弧BD;⑤弧AC=弧BC 在以上5个条件中满足任意2个则另外三个条件也成立.以下是推论 编辑本段推论 推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 (证明时的理论依据就是上面的五条定理) 但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:一条直线条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论 1.平分弦所对的优弧 2.平分弦所对的劣弧 (前两条合起来就是:平分弦所对的两条弧) 3.平分弦 (不是直径) 4.垂直于弦 5.经过圆心 6.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.

  展开全部垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧

  推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧

  推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧

  几何语言:因为DC是直径,AE=EB,所以直径DC垂直于弦AB,劣弧AD等于劣弧BD,优弧ACO=优弧BCO

  几何语言:因为DC垂直AB,AE=EB,所以DC是圆的直径,劣弧AD等于劣弧BD,优弧ACO=优弧BCO

  推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。

  垂径定理是数学几何(圆)中的一个定理,它的通俗的表达是:垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。

  垂径定理的推论一:平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

  垂径定理的推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。

  垂径定理是圆的重要性质之一,它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据,也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。

  推论一:平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

  推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。

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