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求有关托勒密定理的奥数题目最好有答案和分析的

归档日期:07-04       文本归类:定理证明器      文章编辑:爱尚语录

  归纳法。我们用归纳法证明一个更强的定理:对于任意n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数,且这n个点共圆,并且有两点是一条直径的两端。

  当n=3时,一个边长为整数的勾股三角形即可:比如说边长为3,4,5的三角形。我们发现这样的三个点共圆,边长最长的边是一条直径。

  假设直径为r(整数)。找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC(边长abc)。把原来的圆扩大到原来的c倍,并把一个边长为rarbrc的三角形放进去,使得rc边和放大后的直径重合。这个三角形在圆上面对应了第n+1个点,记为P。

  于是根据Ptolomy定理,P和已存在的所有点的距离都是一个有理数。(考虑P,这个点Q和直径两端的四个点,这四点共圆,于是PQ是一个有理数因为Ptolomy定理里的其它数都是整数。)

  引入一个新的点P增加了n个新的有理数距离,记这n个有理数的最大公分母为M。最后只需要把这个新的图扩大到原来的M倍即可。

  推论:1.任意凸四边形ABCD,必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,当且仅当ABCD四点共圆时取等号。 2.托勒密定理的逆定理同样成立:一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形内接于一圆

  推广:托勒密不等式:凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积,取等号当且仅当共圆或共线。 简单的证明:复数恒等式:(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d),两边取模, 得不等式AC·BD≤(a-b)(c-d)+(b-c)(a-d)=AB·CD+BC·AD

  运用要点:1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价。 2.四点不限于同一平面。 欧拉定理:在一条线段上AD上,顺次标有B、C两点,则AD·BC+AB·CD=AC·BD

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